수학적 발견술

수학적 발견술은 폴리아의 문제해결 교육론의 핵으로, 문제해결에 있어서 유용한 발견과 발명의 방법, 규칙, 전략, 전술을 포함하고 있는 개념입니다. 폴리아는 이러한 수학적 발견술을 강조하며, 학생들이 문제를 해결하면서 자신의 아이디어를 개발하고 창의적인 해결책을 찾을 수 있도록 도와줍니다. 이러한 방법은 학생들의 수리적 사고 능력과 문제해결 능력을 향상시키는 데 도움이 될 수 있습니다.

1. 분석법과 종합법

분석은 사고의 과정이라고 할 수 있습니다. 사람들은 미지나 결론으로부터 시작하여, 기본 사실이나 가설을 바탕으로 분석을 진행합니다. 분석은 문제를 해결하기 위해 명제를 분해하는 방식입니다.

반면에 종합은 사고의 산물이라고 할 수 있습니다. 종합적인 방식은 해결하고자 하는 명제로부터 기본 사실들을 포함하는 방식입니다. 종합은 문제를 해결하기 위해 기반을 형성하는 방식으로, 사고의 결론이라고 볼 수 있습니다.

분석은 학생들이 가지는 의문에 대한 답을 제공합니다. 의문을 분석적으로 접근하여 해결책을 찾아냅니다. 하지만 종합은 의문에 대한 직접적인 답을 제공하지 못합니다. 종합은 문제를 해결하기 위해 필요한 정보를 종합하고 조합하여, 의문에 대한 해결책을 찾는 것입니다.

분석적인 방식은 보다 깊은 사고를 요구합니다. 분석은 길고 귀찮으며 느리고 간접적인 방식입니다. 분석적인 방식은 시행착오를 포함하며, 여러 가설들을 탐색하고 실험적인 방식으로 문제를 해결합니다.

반면에 종합적인 방식은 더 전체적인 사고를 요구합니다. 종합은 주어진 문제에 대한 해결책을 찾기 위해 필요한 정보들을 종합하여, 전체적인 사고를 형성합니다. 종합적인 방식은 빠르고 직접적이지만, 분석적인 방식만큼 깊은 사고를 요구하지는 않습니다.

분석적인 방식은 주로 사고자와 발견자를 위한 방법으로 사용됩니다. 분석은 문제를 해결하기 위해 탐색하고 실험하는 과정을 포함하므로, 사고자와 발견자가 새로운 통찰력을 얻을 수 있도록 도와줍니다. 반면에 종합적인 방식은 주입식으로, 해결하고자 하는 명제에 대한 기반 지식을 제공합니다.

2. 수학적 발견술의 역사

• 파푸스는 수학적인 문제를 해결하는 방법 중에서 가장 효과적이고 오랜 역사를 가진 '분석법'을 체계화하였습니다.
• 데카르트: 모든 문제를 해결할 수 있는 보편적인 방법을 찾으려는 시도를 하였습니다. 데카르트는 문제를 수학적인 문제로 변환하고, 그 수학적인 문제를 대수 문제로 바꾸고, 대수 문제를 방정식 문제로 바꾸는 방법을 통해 모든 문제를 해결할 수 있다고 생각했습니다. 이러한 방법론은 유클리드적인 전통에 도전하여 대수적인 방법을 우선시함으로써 현대 수학과 과학의 발전에 결정적인 역할을 했습니다.
• 라이프니쯔는 모든 문제를 해결할 수 있는 일반적인 알고리즘을 찾으려고 하였습니다. 그 결과로 미적분학을 개발하게 되었고 모든 문제를 기호의 조작을 통해 기계적, 기술적으로 해결할 수 있다고 믿었습니다. 이 개념은 현재까지도 많은 수학 문제 해결에 사용되고 있습니다.
• 폴리아: 파푸스, 데카르트, 라이프니쯔 등의 연구를 기반으로 발견술에 대한 기록을 정리하고, 문제 해결에 유용한 사고 과정을 추출하여 상식적인 질문과 권고 형태의 대화로 표현하였습니다. 폴리아는 완성된 수학을 연역적 과학으로 여기며, 발전 과정의 수학을 실험적이고 귀납적인 과학으로 여겼습니다. 폴리아는 수학적인 사고 과정에서 귀납, 유추, 추측이 먼저 이루어진 후에 증명이 따라야 한다고 주장했습니다. 그래서 수학자의 창조적인 연구 결과는 연역적 추론(증명)을 통해 이루어지지만, 그 증명은 귀납, 유추에 기반을 둔 추측에 의해 발견된다고 봤습니다. 폴리아는 귀납, 유추를 통해 추측을 발견하는 발견적 사고와 문제 해결 교육의 중요성을 강조하며, 실제적인 지도 방법론을 제시했습니다. 발견과 발명의 방법, 규칙, 문제 해결 전략은 시범, 모방, 실행, 질문, 권고를 통해 언어의 미묘하고 섬세한 구사를 통해 습득될 수 있다고 봤습니다.